センター試験の数学IA：第二問

二問目は、等速直線運動する質点の分析。物理の問題といってもよいだろう。一問目と違って、背景のよくわかるよい問題だと思う。こういうのは将来も役に立つはず。

センター試験の特徴としては、説明がすべて「文章」だということ。つまり、図による手助けがない。だから、自分で図を描く必要がある。問題の要点を図示できる能力、これは必ず入試で試されるし、将来も必ず必要となる能力だから、しっかり身につけておいて損はない。この問題では、二本の直線をxy座標の中に書き込むことから全てが始まる。（-8,8)から始まるy=-xの直線上を点が速度Vx=2 (目盛り／秒）で移動することは、問題文で与えられる。

最初の問題は、(-8,8)から出発した質点が原点に到達するまでの時間を算出すること。一番簡単なのが、8（目盛り）/ 2（目盛り／秒） = 4（秒）と計算する方法。これはx方向の自由度だけに着目して計算するやり方。物理の素養がないと、この計算結果を自信をもって回答欄に書き込む事はできないだろう。

一番安全なのが、(-8)²+8² = 2×64=128...これは距離の二乗の計算で原点と始点の距離に相当する。つぎに(-2)²+2²= 2×4=8...これは速度の二乗の計算（y=-x上から逸れずに動くには、-Vx = Vyの関係が成り立たないといけない）。従って、√128 / √8 = 4（秒）。この計算だと、明らかに最初の計算に比べて時間がかかってしまう。

ポイントは、xとyは独立な自由度と考えず、y=-xの拘束条件があるから、xのみの計算で事が足りると、「瞬時に」判断しないといけない点だ。

生物／化学など医学系や生物系を目指す人や、文系の人など、物理なしに入試を突破しようとしている学生は、２番目の方法で計算した人も多いかもしれない。この問題は「皆さん、物理を勉強しましょう」というプロモーション的問題なのかもしれない。大学の数学（解析学）ではεδ法など物理的な発想に近い証明方法もあるから、物理の素養は（試験を受ける受けないは別にして）高校で少しは学んでおいても損はしないだろう。

次の計算は、質点とその軌道直線、およびx軸で囲まれた三角形の面積を時間の関数で表すこと。質点は直線の上を動くから、答えは時間の２次関数になる。（座標が一次関数なら、その積である面積は二次になる。）難しいことはない。ただ、注意すべきは、0＜t＜4の範囲で考えよ、という条件だ。この条件の物理的な意味は、質点が原点を超えず、x軸の負の領域にいる間の状況を考えろ、ということだが、これが意味する点を吟味する時間はない。したがって、この条件はこの段階では「機械的に」当てはめるしかない。（その意味は問題を解くうちに明らかになる。）

ちなみに、面積を時間の２次関数として表した後、その最小値を計算するように言われる。平方完成を用いる手段もあるが、時間がかかるので、ここでは微分するのが最適。２次の項の係数が正値になっていることから、下に凸の放物線は極値が最小値になる。微分計算するとt=8/7のときに極値になることがわかる。これが、0＜t＜4の条件から外れていれば問題だが、見事に範囲に収まっているのでそのまま採用することができる。

このとき、極値を計算する際に分数の二乗とか、足し算、引き算をやることになるが、いちいち項別に計算してから足し合わせていたのでは時間がかかってしまう。なるべく計算せずに計算する必要がある（計算量を減らす工夫ということ。これは数値計算をやる時ちょっと必要になるセンスだが、コンパイラーの設計とか、厳しい科学計算のプログラムを自前で書く人以外にはまったく必要ないセンス）。英国の試験では電卓が持ち込み可能だが、日本では暗算／筆算が未だに幅を効かせているので、「上手に」計算し、時間を節約する必要がある。この問題でも、愚直に計算すると時間を浪費するようにわざわざ分数を扱うよう設計されている点が嫌らしい。はたして、こういうセンスを高校生に要求するのは意味があるのだろうか？ちなみに、この問題では分母を７に保ったまま計算するのがよい。

ここまでは、教科書の例題レベル。この先が最初の勝負の分かれ目となる。今度は、時間の範囲をa ＜t＜a+1に区切って最小／最大を考えよ、という。ただし、aは0＜a＜3を満たす定数とする。

極値点を境にして、放物線を右領域と左領域に分割して考えると、右領域では単純増加し、左領域では単純減少する。だから、時間領域（a＜t＜a+1）が右領域にあるときは、t=aの時に最小値をとり、左領域の場合はt=a+1で最小値をとる。時間範囲が極値点を含まなければ、下に凸の放物線の場合は、当然ながら、極小値は最小値にならない。（放物線の「底」が領域の外に出てしまう、とイメージする。）すなわち、題意を満たすためには、時間範囲は右領域と左領域の両方に引っかかっていなくてはならない。

このイメージを利用して問題を解くことができる。時間範囲の「長さ」は１だから、放物線の底に釘を打って、それに引っかかるように長さ１の枠を置くようなイメージだ。これを左右に水平移動できる範囲で動かせば、aの範囲が求まる。aというのは枠の左端に相当するから、aの最小値のケースは、枠の右端が釘に当たっている場合に相当する。枠の長さは１だから、釘の打ってある位置から-1の場所に枠の左端が来る。一方、最大値は枠の左端が釘の位置に等しい場合に相当する。つまり、題意を満たすaの範囲は極値点の位置をt=t₀とすると、t₀-1 <= a <= t₀ が答えになる。

次の問題はt=aが最大となるようなaの範囲を求めろ、というものだが、上の考察から放物線の左領域が関わっているのはすぐにわかる。しかし、a>0という制限があるので、あまり時間範囲を左領域奥深くまで持っていく事はできない。t=aは「枠」の左端なので、これが原点にある場合からスタートし、少しずつ右へずらしていくことを考える。極値点t₀は１より大きい事が前の問題で判明しているので、この状態は明らかに題意を満たしている（つまりt=aが最大値を与える）。この状況は枠の右端が極値点t₀に接しても変化はない。さらに枠を右にずらすと、枠の中心が極値点と一致したとき、t=aとt=a+1が同じ値を持つようになる。これは放物線の形状の対称性から自明なことだ。この位置より右にずらしてしまうと、対称性により、枠の右端の方が最大値を与えるようになってしまう。すなわちaの最大値は枠の中心がt₀に重なった時である。その条件はa+1/2 = t₀で、これを解けばaの最大値が求まる。

最後の２つの問題は、「物理的なイメージ」が湧けば簡単に解く事ができるが、機械的に解こうとすると、考え落としがないか不安になり、慎重に考察しすぎて時間が無くなっていくだろう。果たして本当に、出題者は「問題を物理的に解釈して欲しい」と望んでいるのだろうか？これは、過去問の系統分析を行えば判明するはず。もし今年の問題が特別「物理寄り」だったとしたら、それは出題内容が物理に偏っていたということになり、物理的な思考に慣れていない学生は気の毒なことになっただろう。

センター試験2013：数学I・A

今年も入試問題を研究してみる。センター試験の数学I・Aとやらを解いてみた。

持ち時間１時間に対して解くべき問題数はかなり多いと思った。ドラゴン桜じゃないが、「計算問題は考えるな！慣れろ！」とか「目の前の問題を瞬間的、機械的に解け！」などと予備校で教えたくなる気持ちがよくわかる。簡単な問題でも、解き方によっては時間を必要以上に消費してしまう可能性があり、そうなると、残りの問題を解く時間がなくなってしまうだろう。試験時間中に試行錯誤しながら、問題の本質を探っていくという数学本来の方法論は、センター試験では許されないようだ。これはあまりよいことではないとは思うが、官僚や医者のような「要領の良さ」が試される職業もあるわけで、その才能の有無で学生を振り分けたい人たちもいるだろう。だから、科学者を目指す学生は、センター試験であまりいい点が取れなくてもがっかりする必要はないと思う。逆に、あまりセンター試験風の問題に慣れ過ぎると研究者としての素養が損なわれる可能性すらあるかもしれない。

とはいえ、自分の目指す大学に行こうと思ったら、多少はいい点を取らねばならないのが現実だ。ある程度の「要領の良さ」を最小限身につけ、残りは科学本来の「探究心」で切り抜けられるようにするには、センター試験はどう解いていけばよいか、すこし考察してみよう。

一通り解いてみて気がついたのは、大問の中では、先に解いた答えを後の問題で再利用する頻度が高いという点だ。これはしかし、途中で間違えると後の問題が全滅する恐れがあるということも意味する。時間を節約するには、答えの再利用は必須だが、途中で独立な方法で解き直して（時には面倒な方法になる場合もあろうが）、答えの整合性を確認していく必要もあるだろう。しかし、時間があまりにもないので、これをやる余裕がある学生は残念ながらかなり少ないだろう。こういう「ミスを許さない」やり方を高校生に要求するセンター試験の数学の出題形式は好ましくないと個人的には思う。

反射神経で解くべき「計算」問題が、今年は第一問にさっそく登場しているので見て見よう。二つの無理数A,Bが与えられる。分子は両方とも１だが、分母が「複雑」そうな形をしている。しかし、その構造を見ると、３つの同じ数字の和になっていて、√３の符号のみが異なる。具体的に見ると、

だ。「機械的」に判断するならば、分母の構造がAとBのそれぞれでX±Yとなっている点だろう(X=1+√6, Y=√3)。

最初の計算はAB、つまり積の計算。(X+Y)(X-Y) = X²-Y²という展開公式を知っているか試すものだ。でも、この公式は中学で学ぶべきものではなかったか？

次は、1/A + 1/Bの計算。これだけみると面倒な計算に見えるが、AとB自身が1/（X±Y)の形になっている訳だから、逆数にしてもらったほうが簡単になる。つまり、1/A=X+Yというわけだ。1/B=X-Yだから、1/A+1/B=2Xと、「瞬間的に」計算できる。これも中学生（もしくは小学生？）レベルの計算問題。

最後がA+Bの計算。これも、中学生レベルの問題だが、解き方によっては時間を浪費し、後の問題に響いてくる可能性がある「曲者」だろう。正直な学生は、上の無理数をそのまま使って計算しようとするだろう。まずは有理化だから、Aの場合は分母分子に1-√3+√6をかけて、(1-√3+√6) / {(1+√3+√6)(1-√3+√6)}=...などと、一番上でやった計算（ABの積）に似たような計算を繰り返しながら答えに近づいていこうとするだろう。個人的にはこういう愚直さは悪いとは思わない。正解に辿り着ければそれでよいと思う。しかしセンター試験ではこのやり方は「御法度」だ。時間が奪われてしまうのだ。つまり、こういう愚直さをもった「正直者」の学生を弾いて除くよう、この問題は設計されている。たとえ、ここで正解を得たとしても、時間が足りなくなって後の問題に辿り着けないように計算されている。この問題をつくった先生には申し訳ないが、この問題は「性格悪い」と思う。

この最後の問題では、最初に考察したように「前の結果を再利用する」のがよいだろう。今までの計算で、ABと1/A+1/Bがわかっている。1/A+1/Bは(A+B)/ABであることは「瞬間的に」計算できる（この構造に関しては、習熟しておく必要があるということ）。だから、A+B = AB×(1/A + 1/B)として求めることができる。

この最後の問題では、普通にやろうとするとかなり時間が取られるように、わざわざAとBは設定されている。たとえば、A=1/(1+√3), B=1/(1-√3)だとすると、A+Bは「普通に」やった方が（つまり有理化する方法）早く計算できる。分母に√6を足し込むことで、普通の方法が面倒になるようにわざわざ設計されている。これは「賢い」とは思うが、「正直者」を弾き除ける感じがして「性格悪い」感じがする。とはいえ、世の中正直者が馬鹿を見る、ということを体験してほしくて、この問題を作ったとしたら賛否両論になるかもしれない....

いずれにせよ、計算のレベルは中学生程度。ここで計算ミスした人は大学合格はかなわないだろう。でも、そういうミスをしても数学の能力がある人は必ずいる。計算の途中まであっていて、些細なことでケアレスミスした人だっているだろう。センター試験はそういう人を救済しない。ミスを一度も許さない、という日本社会の歪んだ指向性がこの問題には濃く浮かんでいるような気がしないでもない。

まとめると、この問題は賢いとは思うが、嫌いだ。数学的思考を試すというより、計算の正確さと性格の細かさを試しているような感じがする。極端な話、この手の問題をうまく解くためにには、滝に打たれて精神修養する必要があろう。（だから、予備校では鉢巻きまいて、皆そろって大声で呪文を唱えるのか。やっとわかった...）

「科学2013年1月号」からの続き

小豆川さんの記事の最後に書かれていたのが、ローソンによる放射線測定。検索してみると、関連するホームページはまだローソンのサーバーに残っていた。

科学の記事で引用された測定時の写真。
ローソンのサーバーより引用。

この写真を見た瞬間、吹き出してしまった人は多いのではないだろうか？

一番の問題は、ローソンの測定はBqで行っているだけで、Bq/kgとしていない点だろう。公的機関でも、ほぼすべてがBq/kgの単位で測定している。たとえば、このレタスが軽い場合、ほんのちょっとしかガンマ線を検知していなくても、それは「高濃度」の汚染の可能性が残るということだ。

ローソンの関連ページには「100Bq以上のものがあったかどうか調べている」とあるが、政府の基準は「100Bq/kg」だ。100Bqと100Bq/kgは違うものだ。たとえば、ローソンの測定で51Bqと出たとする。このとき、レタスの質量が0.5kg、つまり500グラムだったとする（ローソンはこの質量測定をやっていない）と、51Bq ÷ 0.5 kg = 102 Bq/kgだから、これは見事な「基準値越え」の汚染レタスになる。つまりローソンの測定結果のまとめには、「私たちはとんちんかんな検査をやってます」という以上の情報は入ってないということだ。

次の問題は、遮蔽の問題だ。この写真から判別するに、かなりのガンマ線が空間から飛び込んで来ている。このレタスを持ち出して、原子炉の中で測定したら、ローソンは「このレタスは非常に汚染されてました」と報告せざるを得ないだろう。原子炉の中、というのは極端な話だったかもしれないが、高濃度汚染地帯に、同じレタスを持っていって、同じように測ったら、「汚染レタス」になってしまう可能性はあると思う。たまたま、ローソンは空間線量の低い場所で測っていたのだろうが、もし汚染地帯で同じように測定してたら、大きな値が出てパニックに陥っただろう。

放射線測定は、やっぱり難しいものだ。ローソンは科学者を雇って、アドバイスしてもらうべきだと思う。お金をたくさん儲けている大会社なんだから、ゲルマを１台くらい買ってもいたくもかゆくもないだろう。大事なのは、そのとき科学者を雇うことだ。非常勤でも、アルバイトでもいいから、数人雇って、彼らの指示のもとに測定を行うべきだ。これだって、ローソンにしてみれば、たいした金額ではあるまい。「横綱相撲」をみせてもらいたいものだ。（本来、ローソンだけでなく、すべての食品会社は「横綱相撲」をしてもらいたいものだ。）

岩波の雑誌「科学」:ヨーロッパのジャムのセシウム汚染

岩波書店が発行する月刊紙「科学」がこのところおもしろくなっていることを最近知った。その理由は、福島の原発事故以降、関連する話題を取り上げることが多くなったからだ。とりわけ、コラム欄の「放射線測定の現場から」がおもしろい。筆者は駒場の化学者小豆川さん（「あずきがわ」さんではなく、「しょうずがわ」さんとお読みするらしい）。

今年の１月号には、農作物のセシウム検査についての記事が載っている。そこで紹介されていたのが、昨年税関で引っかかったヨーロッパのブルーベリージャム。非常に興味深い。元データは、厚生労働省が発表する「輸入食品などの食品衛生法違反事例」。ホームページがあるので、そこからエクセルファイルの形でダウンロードできる。

まず、2012年4月のデータには、明治屋が輸入した、オーストリア産のブルーベリージャムが３点輸入禁止となっていることが記されている。原因はセシウム汚染。それぞれ、140Bq/kg, 180Bq/kg, 220Bq/kgと高い汚染が見つかったという。次に、2012年7月のデータを見ると、フランス産のブルーベリージャムが１点、セシウムで汚染されていることが判明し、輸入できなくなったとある。汚染度合いは150Bq/kg。これは、三越伊勢丹系列の会社が輸入したもの。

実は、これらの原料ブルーベリーはすべてポーランド産だと注釈にある。ポーランドはチェルノブイリの事故でひどく放射能汚染された国のひとつだ。つまり、このジャムの問題は、３０年程前に起きた、チェルノブイリ原発事故によるセシウム汚染が原因だ。それが、いまだに大地や森林を汚染し続け、食品を汚染しているのだ！木の実のジャムと、野生のキノコは、特にセシウムを溜めやすいというのは知っていたが、これほどひどいとは。

数年前にポーランドはEUに加入したので、基本的にEU内の国であれば、どの国がどの国の原料を使って製品を作ろうと、「ユーロランド」つまり「ヨーロッパ」製品と見なされる。（例えば、「日本産」と呼ばれる蕎麦が、京都の食品工場で、岡山で生産された蕎麦粉を使って製造されるような感覚だろう。）

気になるのは、税関でちゃんと止めてくれているのかどうかだ。国内に輸入できたヨーロッパのジャムは全て検査済みで100Bq/kg以下ということなら、一応は「安心」ということになろう（とはいえ、ここで「安全」とは言うまい。なぜなら、100Bq/kg未満の汚染の可能性が残るからだ）。しかし、抜き打ち検査しかやってないとしたら、結構検査をすり抜けて、店頭に並んでしまっている可能性もある。高級デパートや高級スーパーで、ちょっと気取って購入するヨーロッパ産のジャムは、「チェルノブイリ印」がついているかもしれないから、ちょっと気をつけようと思う。

もし、食品検査に興味があるのなら、まずはヨーロッパのジャムに目星をつけたらいいだろう。ちょっと値が張るので、それなりの額の研究費／調査費が必要になるだろうが...

雪の蓼科の夕日

寒い。湖の氷は完全に凍りついていた。しかし、日が長くなってきているのを感じる。天体観測がやりにくくなったのは困るが、遠出をしても日があるうちに宿に着けるようになったのは嬉しい。５時を過ぎてもまだ明るさが残る。この間の大雪の残りも間もなく消えてなくなるだろう。真冬の姿をしていても、陽の光には春の兆しがある。

とはいえ、日が沈むと、とたんに冷え込んで、あっという間に気温は氷点下１０度近くとなった。西日が斜面にあたって青空に浮かび上がった蓼科の雪は、まだまだ手の届かない場所にある。

暗くなり始めた頃、近くの珈琲屋に入った。暖炉で体を温めてから、珈琲を飲む。のんびりしたいところだが、道路が凍結しないうちに移動しないと大変なことになるので、急いでカップを傾けた。

「酷寒、暗闇、人気無し。車が脱輪困ったな。」なんてことにならなくてよかった。

ロンドンの中心部でヘリコプター墜落！

融け残った雪をバキバキ踏みつけながら車を運転していた。ラジオのスイッチを入れ、American Forces Networkに波長を合わせた。すると、Londonの中心部でヘリコプターが墜落した、という一報。

家に帰ってからGuardianで調べてみると...本当だった。Vauxhaulらしい。West Minsterの川向こうだ。詳細は情報収集中。

追加情報：West Minsterの対岸にはMI6がある。その隣りに緑色の超高級マンション（といっても安普請だと思うが....）がある。写真から判断するに、その辺りに落ちたらしい。朝8時ころ、濃霧に包まれたロンドン中心部。工事中のビルのてっぺんにあったクレーンに、飛行中のヘリコプターがぶつかってしまったらしい。MI6の近くらしいが、テロの可能性はないらしい。二人死亡。テムズ川沿いの道路に墜落したため、車も巻き込まれたらしい。黒こげに燃えた車の写真がGuardianで公開されている。遠目でみたショットだと、まるでテロ攻撃のように見える。この辺り旅客機もよく飛んでいるのだが、それが墜落したのではなくてよかった....

Vauxhaul（ロンドン中心部）でヘリコプター墜落。
手前の川はテムズ川。The Guardianより。

「サイコ」の看板

道路を走っていると、「サイコ」という看板があった。工場なのか、会社なのか、プレハブ状の建物が脇に立っていた。まず思ったのがヒッチコックの”サイコ（Psycho）”。曇り空の下、なんとなくそんな感じがしないでもない....

西湖と富士と樹海

西湖にまた来た。実は、初めて来たのは年末の大雪のとき。（もしかすると小学生の時、学校の旅行で通ったかもしれないが。青木ヶ原で休憩したのは覚えている。）西湖の岸辺には溶岩台地が迫っていて、その上には深い森がある。そこはもう樹海の一部と言っていいのではないだろうか？

西湖の周辺を走っていても、富士山はなかなか見えない。どうりで、店やレストランがないはずだ。しかし、西の端まで走ると、突然、大勢の人が岸辺に下りてワイワイガヤガヤやっている場所が現れる。「なんだろう？」と近寄っていくと、湖の向こうに富士の偉容が現れる。「なるほど、そういうことか」と得心するはずだ。

先日の大雪が嘘のように、樹海からも、里山からも消えていた。あの日は富士は雪雲の中だった。が、きょうはよく見える。さすがに富士の樹海に向こうにそびえ立つ富士はでかい！

初夢に富士を見るならサイコかな

もちろん３つの掛詞なり。

TSUTAYAに行きたくなった。