センター試験2013：数学I・A

今年も入試問題を研究してみる。センター試験の数学I・Aとやらを解いてみた。

持ち時間１時間に対して解くべき問題数はかなり多いと思った。ドラゴン桜じゃないが、「計算問題は考えるな！慣れろ！」とか「目の前の問題を瞬間的、機械的に解け！」などと予備校で教えたくなる気持ちがよくわかる。簡単な問題でも、解き方によっては時間を必要以上に消費してしまう可能性があり、そうなると、残りの問題を解く時間がなくなってしまうだろう。試験時間中に試行錯誤しながら、問題の本質を探っていくという数学本来の方法論は、センター試験では許されないようだ。これはあまりよいことではないとは思うが、官僚や医者のような「要領の良さ」が試される職業もあるわけで、その才能の有無で学生を振り分けたい人たちもいるだろう。だから、科学者を目指す学生は、センター試験であまりいい点が取れなくてもがっかりする必要はないと思う。逆に、あまりセンター試験風の問題に慣れ過ぎると研究者としての素養が損なわれる可能性すらあるかもしれない。

とはいえ、自分の目指す大学に行こうと思ったら、多少はいい点を取らねばならないのが現実だ。ある程度の「要領の良さ」を最小限身につけ、残りは科学本来の「探究心」で切り抜けられるようにするには、センター試験はどう解いていけばよいか、すこし考察してみよう。

一通り解いてみて気がついたのは、大問の中では、先に解いた答えを後の問題で再利用する頻度が高いという点だ。これはしかし、途中で間違えると後の問題が全滅する恐れがあるということも意味する。時間を節約するには、答えの再利用は必須だが、途中で独立な方法で解き直して（時には面倒な方法になる場合もあろうが）、答えの整合性を確認していく必要もあるだろう。しかし、時間があまりにもないので、これをやる余裕がある学生は残念ながらかなり少ないだろう。こういう「ミスを許さない」やり方を高校生に要求するセンター試験の数学の出題形式は好ましくないと個人的には思う。

反射神経で解くべき「計算」問題が、今年は第一問にさっそく登場しているので見て見よう。二つの無理数A,Bが与えられる。分子は両方とも１だが、分母が「複雑」そうな形をしている。しかし、その構造を見ると、３つの同じ数字の和になっていて、√３の符号のみが異なる。具体的に見ると、

だ。「機械的」に判断するならば、分母の構造がAとBのそれぞれでX±Yとなっている点だろう(X=1+√6, Y=√3)。

最初の計算はAB、つまり積の計算。(X+Y)(X-Y) = X²-Y²という展開公式を知っているか試すものだ。でも、この公式は中学で学ぶべきものではなかったか？

次は、1/A + 1/Bの計算。これだけみると面倒な計算に見えるが、AとB自身が1/（X±Y)の形になっている訳だから、逆数にしてもらったほうが簡単になる。つまり、1/A=X+Yというわけだ。1/B=X-Yだから、1/A+1/B=2Xと、「瞬間的に」計算できる。これも中学生（もしくは小学生？）レベルの計算問題。

最後がA+Bの計算。これも、中学生レベルの問題だが、解き方によっては時間を浪費し、後の問題に響いてくる可能性がある「曲者」だろう。正直な学生は、上の無理数をそのまま使って計算しようとするだろう。まずは有理化だから、Aの場合は分母分子に1-√3+√6をかけて、(1-√3+√6) / {(1+√3+√6)(1-√3+√6)}=...などと、一番上でやった計算（ABの積）に似たような計算を繰り返しながら答えに近づいていこうとするだろう。個人的にはこういう愚直さは悪いとは思わない。正解に辿り着ければそれでよいと思う。しかしセンター試験ではこのやり方は「御法度」だ。時間が奪われてしまうのだ。つまり、こういう愚直さをもった「正直者」の学生を弾いて除くよう、この問題は設計されている。たとえ、ここで正解を得たとしても、時間が足りなくなって後の問題に辿り着けないように計算されている。この問題をつくった先生には申し訳ないが、この問題は「性格悪い」と思う。

この最後の問題では、最初に考察したように「前の結果を再利用する」のがよいだろう。今までの計算で、ABと1/A+1/Bがわかっている。1/A+1/Bは(A+B)/ABであることは「瞬間的に」計算できる（この構造に関しては、習熟しておく必要があるということ）。だから、A+B = AB×(1/A + 1/B)として求めることができる。

この最後の問題では、普通にやろうとするとかなり時間が取られるように、わざわざAとBは設定されている。たとえば、A=1/(1+√3), B=1/(1-√3)だとすると、A+Bは「普通に」やった方が（つまり有理化する方法）早く計算できる。分母に√6を足し込むことで、普通の方法が面倒になるようにわざわざ設計されている。これは「賢い」とは思うが、「正直者」を弾き除ける感じがして「性格悪い」感じがする。とはいえ、世の中正直者が馬鹿を見る、ということを体験してほしくて、この問題を作ったとしたら賛否両論になるかもしれない....

いずれにせよ、計算のレベルは中学生程度。ここで計算ミスした人は大学合格はかなわないだろう。でも、そういうミスをしても数学の能力がある人は必ずいる。計算の途中まであっていて、些細なことでケアレスミスした人だっているだろう。センター試験はそういう人を救済しない。ミスを一度も許さない、という日本社会の歪んだ指向性がこの問題には濃く浮かんでいるような気がしないでもない。

まとめると、この問題は賢いとは思うが、嫌いだ。数学的思考を試すというより、計算の正確さと性格の細かさを試しているような感じがする。極端な話、この手の問題をうまく解くためにには、滝に打たれて精神修養する必要があろう。（だから、予備校では鉢巻きまいて、皆そろって大声で呪文を唱えるのか。やっとわかった...）