in turn and by turns

Zを複素数とするとき、f(Z)=√Zは2価関数となるが、リーマン面をうまく設定すれば、1価にすることができる。具体的には、Z=r exp(iθ)と書いて、Zの位相θを連続的に追っていけばよい。θがbranch cutをよぎるたびに、符号を交互に反転させるのである。

「交互に」というのは、英語でalterntivelyだが、Latin語の響きがある(実際、alternativius=interchangeだそう)。もうすこし「柔らかく」すると by turnsというのがある。似たようなので、in turnがあるが、これはone after the otherの意味。

by turns : alternatively　（交互に）
in turn: one after the other （つぎつぎと）

Consider a complex number Z, and define a function f(Z)=√Z. This complex function is a two-valued function, but one can make it single-valued by introducing the Riemann surface. For this purpose, the complex number Z should be regarded as Z=r exp(iθ), and one should follow the development of phase θ continuously. On every occasion when the phase crosses over the branch cut, the sign of the function should be inverted by turns (=alternatively).